L'enseignement des mathématiques

1.mathématiques, enseignement des, enseignement ayant pour objectif l'apprentissage d'un ensemble de résultats et de méthodes spécifiques portant sur des objets mathématiques tels que les nombres, les figures, les fonctions, etc.

On s'accorde généralement pour considérer que l'enseignement des mathématiques doit répondre à trois finalités principales.

La première de ces finalités est professionnelle : les connaissances mathématiques acquises dans la scolarité obligatoire et au-delà doivent permettre à l'individu de construire et d'atteindre un objectif de professionnalisation.

La seconde de ces finalités est sociale : pour sa vie de citoyen, l'homme moderne doit avoir acquis et maîtrisé certains concepts mathématiques qui lui permettent de vivre et d'agir dans la société actuelle.

Enfin, la troisième de ces finalités est culturelle : les mathématiques, comme les autres disciplines, sont une construction historique issue des civilisations dont notre culture a hérité. À ce titre, elles peuvent contribuer à l’élaboration de notre personnalité, à la structuration de notre pensée.

Le problème posé par l'enseignement des mathématiques peut aisément se comprendre à la lumière des remarques suivantes : d’une part, les mathématiques se sont développées sur une longue période de temps — on a trouvé la trace écrite de nombres dès 3 000 ans avant notre ère — et d'autre part, les mathématiques du XXe siècle ne sont compréhensibles que par un nombre très restreint de personnes. Ainsi, comment dans un délai assez court, faire acquérir aux élèves les connaissances qui ont été élaborées sur plusieurs millénaires ? Quels raccourcis peut-on emprunter ? Il est évident que chaque élève n'aura pas à revivre, même en accéléré, toute l'histoire des mathématiques, mais certaines étapes s’avèrent obligatoires.

Dans nos sociétés modernes, les mathématiques sont enseignées à tous les niveaux : de la maternelle à l'entrée à l'université. Au-delà, la plupart des formations intègrent plus ou moins de mathématiques. C'est dire l'importance donnée actuellement à cet enseignement. Pour certains cette importance est démesurée, cette « omniprésence des maths » est une source d'échec scolaire et sert comme instrument de sélection. Ces excès sont réels et doivent être reconnus et corrigés pour que les mathématiques trouvent leur vraie place dans l'enseignement.

2.LES PREMIERS APPRENTISSAGES MATHÉMATIQUES

À l’âge de 4-5 ans, le jeune enfant montre certaines capacités mathématiques élémentaires. Il se plaît à réciter la suite des nombres avec plus ou moins de facilité — « Un, deux, trois, quatre, cinq, sept, huit, douze, etc. » ; il distingue les formes géométriques élémentaires ; il sait classer des objets selon leur taille, etc. Des apprentissages plus systématiques peuvent dès lors s’élaborer sur ces bases.

Dès la maternelle, on propose, par exemple, à l’enfant de dénombrer de petites collections d’objets, de dire s’il y a plus de garçons ou plus de filles dans son groupe, etc. Savoir compter devient dès lors un objectif d’apprentissage et l’élève acquiert une maîtrise de plus en plus large et de plus en plus fiable de la suite des nombres. Ces nouvelles connaissances permettent ensuite l’accès à des rudiments de calcul tels que : « Dans la classe il y a 26 élèves, 5 sont absents. Combien d’élèves sont présents ? » ; « Pierre a 16 F dans sa tirelire, son père lui donne 15 F. Combien a-t-il d’argent ? ».

3.L’APPRENTISSAGE DES NOMBRES ET DU CALCUL

Connaître les nombres c’est, en plus de l’énonciation orale de la suite des nombres, en maîtriser l'écriture. Notre système d’écriture des nombres, fondé sur l’utilisation des chiffres, est très élaboré par rapport à certains systèmes d’écriture développés dans des civilisations anciennes (pensons aux chiffres romains). L’étude de ses règles et de ses propriétés fait l’objet, à l’école élémentaire, d’un enseignement intensif. Savoir distinguer un nombre et un chiffre, connaître la signification d’un chiffre selon sa position dans un nombre permettent l’enseignement du calcul écrit.

Après la désignation des nombres et leur écriture, c'est le problème des calculs qui a mobilisé l'inventivité des mathématiciens. Du boulier à l'ordinateur, tout est bon pour décharger l'esprit des tâches ingrates que sont les calculs. L'enseignement doit prendre acte de ce constat : s'il faut enseigner les calculs, il faut surtout enseigner les moyens de les rendre plus agréables et plus rapides.

4.AUTRES NOMBRES, AUTRES CALCULS ET NOUVEL ENSEIGNEMENT

Les premiers nombres que nous venons d'évoquer sont les nombres naturels ou nombres entiers positifs : ils servent à désigner des quantités discrètes (ou objets isolables). Dès qu'il s'agit de désigner des quantités continues (longueurs, masses, durées, volumes, etc.) ces nombres ne suffisent plus. Une première extension du domaine des nombres se fait alors par l'introduction de nombres fractionnaires utilisant des quantités résultant du partage d’un tout en parties égales (fractions). Les nombres fractionnaires que nous utilisons le plus couramment utilisent le fractionnement en dix parties égales ; ce sont les nombres décimaux.

La nécessité de l'introduction de nouveaux nombres est intervenue à plusieurs reprises dans le développement des mathématiques. De la même façon, l'enseignement des mathématiques introduit progressivement de nouvelles catégories de nombres : entiers, puis fractions et nombres décimaux, nombres relatifs, nombres réels et enfin nombres complexes. Outre les propriétés de ces nouveaux nombres, il faut aussi enseigner les techniques de calcul correspondantes : par exemple, l'enseignement du calcul sur les nombres décimaux prend beaucoup de temps — de l'école au collège —, malgré un enseignement préalable des techniques opératoires sur les nombres entiers.

5.UN NOUVEL OUTIL MATHÉMATIQUE : L'ALGÈBRE

L'invention en mathématiques ne concerne pas uniquement les objets qu'elles manipulent, mais aussi les méthodes dont elles se servent. La découverte de l'algèbre, relativement tardive dans l'histoire des mathématiques (début du Moyen Âge) modifie profondément les modes de raisonnement et accélère le rythme de production et la profondeur des nouveaux résultats obtenus.

Ce nouveau domaine mathématique est enseigné dès le début du collège. On y apprend un mode de raisonnement inédit, à savoir la mise en équation. Celle-ci consiste à supposer connue la quantité (le nombre) inconnue, à lui donner un nom (une lettre) et à calculer comme s'il s'agissait d'un nombre ordinaire. Ce nouveau mode de calcul nécessite d'en expliciter les règles et les contraintes : c'est le calcul littéral. Autour de ces nouveaux objets (inconnues, équations, systèmes d'équations, identités remarquables, calcul littéral, etc.) s'organise une grande partie de l'enseignement du collège et du lycée. C'est un des moments clés de l'enseignement des mathématiques. C'est alors que l'on initie les élèves au langage et aux notations mathématiques qui deviendront ensuite de plus en plus abstraits.

6.UNE MÉTHODE SPÉCIFIQUE DES MATHÉMATIQUES : LA DÉMONSTRATION

En mathématiques, tout nouveau résultat doit être prouvé c'est-à-dire être le résultat d'une démonstration. Par démonstration, il faut entendre la déduction d'une nouvelle affirmation à l'aide d'un raisonnement logiquement articulé à partir de résultats, de propriétés déjà établis ou supposés vrais.

Dans l'enseignement, l'accès à ce mode de raisonnement est introduit en géométrie au niveau du collège.

Dans les premières années de la scolarité obligatoire, les élèves apprennent à reconnaître, à décrire, à reproduire les figures géométriques usuelles. Les éléments constitutifs d'une figure (côtés, angles, diagonales, hauteurs, etc.) sont définis par leurs propriétés (parallélisme, équidistance, etc.). Cet apprentissage fournit un ensemble de connaissances élémentaires à partir duquel d'autres connaissances vont se construire, se déduire de façon logique. Par exemple, de la définition des médiatrices d'un triangle on déduit, assez simplement, qu'elles se coupent en un seul point.

7.UN GRAND DOMAINE DES MATHÉMATIQUES : L'ANALYSE

Une grande partie de l'enseignement des mathématiques au lycée est consacrée à l'analyse mathématique. L'analyse mathématique, dont les développements prennent leurs sources dans les mathématiques grecques, peut être définie comme l'étude des questions qui utilisent l'idée d'infini.

Calcul différentiel, calcul intégral, calcul des limites, suites et séries infinies sont autant de méthodes qui manipulent l'infini. Les questions soulevées sont de l'ordre de la suivante : la somme de la suite indéfinie de termes 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … est-elle finie ? Si oui, quelle est-elle ?

Que dire alors de la suite 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … ?

Avec l'analyse mathématique, ses outils et ses résultats, l'enseignement aborde enfin les mathématiques modernes.

8.ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES AU XXIE SIÈCLE

Enseigner les mathématiques, c'est schématiquement enseigner des résultats et des méthodes. Les résultats sont, par exemple, les résultats mémorisés des tables de multiplication, des dérivées et des primitives des fonctions usuelles. Les méthodes sont les moyens de produire ou de reproduire un résultat. Ainsi enseigne-t-on les méthodes du calcul numérique, du calcul algébrique ou du calcul intégral, mais aussi les méthodes de démonstration.

Le calcul sous toutes ses formes est indissociable des mathématiques. Faire des mathématiques c'est souvent, mais pas exclusivement, faire des calculs. Une des préoccupations permanentes des mathématiciens a été de réduire cette contrainte en inventant des moyens techniques de plus en plus sophistiqués d'effectuer rapidement des calculs. Le boulier, l'abaque, le calcul écrit, les tables de résultats (tables de multiplication, trigonométriques, de logarithmes), la règle à calcul, la calculatrice et enfin l'ordinateur sont autant d'auxiliaires de calcul qui jalonnent le progrès des sciences mathématiques.

L'enseignement des mathématiques doit désormais intégrer les outils modernes de calcul aux méthodes d'enseignement.

La disponibilité actuelle sur de simples calculatrices ou sur des micro-ordinateurs ayant des moyens puissants de calcul ou de représentation (logiciels de calcul formel, de manipulation d'objets géométriques, etc.) doit permettre à la fois de faciliter l'approche des mathématiques ainsi que d’en approfondir l’enseignement.